☝ Tableaux de congruences - Remarque

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) . On a  \(a \equiv 0 \ [n] \ \text{ou} \ a \equiv 1 \ [n] \ \text{ou} \ a \equiv 2 \ [n] \ \text{ou} \ ... \ \text{ou} \ a \equiv n-1 \ [n]\)  (et il n'y a pas d'autre alternative).

En particulier, prouver une propriété pour tout \(a \in \mathbb{Z}\) est équivalent à prouver cette propriété pour chacune des alternatives correspondant aux différentes valeurs possibles pour \(b\)  :  \(a \equiv b \ [n]\) avec \(0 \leqslant b \leqslant n-1\) .

Pour cela, on peut utiliser des tableaux de congruences.

Exemple

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) . Pour déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de  \(a^5\)  par  \(4\) , on peut réaliser un tableau de congruences modulo  \(4\)  :
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a \equiv ... \ [4] & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline a^2 \equiv ... \ [4] & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline a^4 \equiv ... \ [4] & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline a^5 \equiv ... \ [4] & 0 & 1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  

(Dans ce tableau, la ligne de  \(a^2\)  est obtenue en élevant au carré les valeurs de la ligne de  \(a\)  ; la ligne de  \(a^4\)  est obtenue en remarquant que  \(a^4=(a^2)^2\)  ; et la ligne de  \(a^5\)  est obtenue en remarquant que  \(a^5=a^4 \times a\) .)
En conclusion, les restes possibles dans la division euclidienne de  \(a^5\)  par  \(4\)  sont  \(0\) ,  \(1\)  et  \(3\) .